I. Analiza y Resuelve Situaciones Básicas De Probabilidad.
Términos Básicos de Probabilidad.Conceptos Básicos de Probabilidad.
Técnicas De Conteo.
II. Aplica La Probabilidad Simple Y Conjunta.
Probabilidad Simple.
Probabilidad Conjunta.
Eventos Mutuamente Excluyentes Y No Excluyentes Entre Sí.
Eventos Dependientes E Independientes.
III. Comprende, Representa Y Aplica La Probabilidad Condicional Y Distribución De Variables Aleatorias Discretas.
Probabilidad Condicional.
Función De Probabilidad Para Una Variable Aleatoria Discreta.
Representación De La Distribución De La Probabilidad Para La Variable Aleatoria Discreta.
-Tabular.
-Gráfica.
-Función De Probabilidad.
Calculo De La Media Y La Desviación Estándar.
IV. Aplica Y Representa la Probabilidad Binomial Y Distribución De Variables Aleatorias Continuas.
Distribución De Probabilidad Binomial.
Distribución De Probabilidad Con Variables Aleatorias Continúas.
Distribución De Probabilidad Normal.
I. Analiza y Resuelve Situaciones Básicas De Probabilidad.
Teoría De Conjuntos (Operaciones Con Conjunto).
La teoría
de conjuntos es una rama de las matemáticas que
estudia las propiedades de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los
conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la
formulación de cualquier teoría matemática.
Sin embargo, la
teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto
de objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas,
...; y junto con la lógica permite
estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto
de axiomas de
la teoría de Zermelo-Fraenkel es
suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia
teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como
herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los
conjuntos infinitos. En esta
disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o
la existencia de un cardinal inaccesible.
Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la
lógica matemática.
El desarrollo
histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor,
que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la segunda mitad
del siglo XIX,
precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e
influenciado por Richard Dedekind.
El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos
propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y
otros a principios del siglo XX.
Concepto Básicos De Probabilidad.
Experimento aleatorio: conjunto de pruebas cuyos resultados están determinados únicamente por el azar.
Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio
Punto muestral o suceso elemental: el resultado de una sola prueba de un experimento muestral
Suceso o evento: cualquier subconjunto de puntos muestrales
Sucesos mutuamente excluyentes: sucesos o eventos que no pueden ocurrir simultaneamente .
Sucesos complementarios: dos sucesos o eventos mutuamente excluyentes cuya unión es el espacio muestral
Sucesos independientes: sucesos o eventos que no tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro
Sucesos dependientes: sucesos o eventos que sí tienen relación entre sí; la ocurrencia de uno sí afecta la ocurrencia del otro.
EJEMPLO: Se lanza un dado.
|
a) Encontrar el espacio muestral. Solución: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Enumerar los puntos muestrales. Solución: Hay seis puntos muestrales: {1},{2},{3},{4},{5} y {6}.
c) Poner dos ejemplos de eventos. Solución: evento A = {resultado es impar} = {1, 3, 5}; evento B = {resultado es mayor que 2} = {3, 4, 5, 6}
d) ¿Son mutuamente excluyentes los siguientes eventos? A = {resultado menor o igual a 4}, B = {resultado es primo}. Solución: A = {1, 2, 3, 4} y B = {2, 3, 5} sí tienen dos puntos en común, 2 y 3. Por lo tanto, no son mutuamente excluyentes.
e) ¿Cuál suceso es complementario a M = {2, 6}? Solución: {1, 3, 4, 5}.
f) ¿Son dependientes o independientes los siguientes eventos? A = {obtener un 2 un el primer lanzamiento}, B = {obtener un 4 en el segundo lanzamiento}. Solución: Son independientes, porque obtener o no un 2 en el primer lanzamiento no afecta el resultado del segundo lanzamiento.
Técnicas De Conteo.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un
método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de
un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas
que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que
este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número
total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden
indicado, es igual a n1 x n2.
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un
conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un
premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10
personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9
personas para recibir el segundo, y posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De
ahí que el número de maneras distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos
letras seguidas de tres cifras? No se admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x
2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de
todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Si el número de
posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar
y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis
posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados
tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería
tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5
niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el
conteo examinaremos tres técnicas:
* La técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN.
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en
donde el primer paso de la actividad a realizar
puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2
maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta
actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica
que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras
otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2
puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep
el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras
distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a
producto.
N1 x N2 x
..........x Nr maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De
cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a
C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene
formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas
puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede
realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede
ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser
llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o
formas
Ejemplos:
1) Una persona
desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede
seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude
a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos
tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser
automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se
presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores
diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca
GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores
diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de
comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la
marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 =
16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 +
2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICIÓN.
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una
segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden
efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el
enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un
modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un
modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal.
¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA
PLAYAS
Económico
Residencial
Condominio
Californiano
Provenzal
m=2 n=3
2+3= 5
maneras
PRINCIPIO DE PERMUTACIÓN.
A diferencia de la formula de la multiplicación, se la
utiliza para determinar el numero de posibles arreglos cuando solo hay un solo
grupo de objetos. Permutación: un arreglos o posición de r objetos
seleccionados de un solo grupo de n objetos posibles. Si nos damos cuenta los
arreglos a, b, c y b, a, c son permutaciones diferentes, la formula que se
utiliza para contar el numero total de permutaciones distintas es:
FÓRMULA: n P r
= n! (n - r)
Ejemplo: ¿Como se puede designar los cuatro primeros lugares
de un concurso, donde existen 15 participantes?
Aplicando la formula
de la permutación tenemos:
n P r = n! (n - r)! =
15! = 15*14*13*12 *11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 (15-4)! 11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 =
32760
Donde: n= número total de objetos r= número de objetos
seleccionados!= factorial, producto de los números naturales entre 1 y n.
NOTA: se puede cancelar números cuando se tiene las mismas
cifras en numerador y denominador. !
PRINCIPIO DE COMBINACIÓN:
En una permutación, el orden de los objetos de cada posible
resultado es diferente. Si el orden de los objetos no es importante, cada uno
de estos resultados se denomina combinación. Por ejemplo, si se quiere formar
un equipo de trabajo formado por 2 personas seleccionadas de un grupo de tres
(A, B y C). Si en el equipo hay dos funciones diferentes, entonces si importa
el orden, los resultados serán permutaciones. Por el contrario si en el equipo
no hay funciones definidas, entonces no importa el orden y los resultados serán
combinaciones. Los resultados en ambos casos son los siguientes:
Permutaciones: AB, AC, BA, CA, BC, CB
Combinaciones: AB, AC, BC
Combinaciones: Es el número de formas de seleccionar r
objetos de un grupo de n objetos sin importar el orden.
La fórmula de combinaciones es:
n C r = n!
r! (n – r)!
Ejemplo: En una compañía se quiere establecer un código de
colores para identificar cada una de las 42 partes de un producto. Se quiere
marcar con 3 colores de un total de 7 cada una de las partes, de tal suerte que
cada una tenga una combinación de 3 colores diferentes. ¿Será adecuado este
código de colores para identificar las 42 partes del producto?
Usando la fórmula de combinaciones:
n C r = n! = 7! = 7! = 35
r! (n – r )! 3! (7 – 3)!
3! 4!
Ejercicios.
1. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar en un estante 5 libros diferentes si se toman todos a la vez?
R: Permutaciones. 5
P5 = 5! = 120
2. De un grupo de 11 edecanes se deben seleccionar a cuatro para que asistan a una exposición. Determinar el número de selecciones distintas que se pueden hacer.
R: Combinaciones 11C4 = 330
3. Un vendedor tiene una cartera de 15 empresas. ¿Cuántas recorridos distintas puede realizar para visitar a seis de estos clientes en un día determinado?
R: Recorrido implica orden. 15P6 = 3603600
4. ¿Cuántos triángulos distintos se pueden formar con 7 puntos no colineales?
R: No importa el orden de selección de puntos para formar el triángulo. Es combinación. 7
C3 = 35.
5. Un asesor financiero cuenta con ocho opciones para invertir y ofrece a sus clientes carteras con cinco de estas opciones. ¿Cuántas carteras diferentes puede ofrecer?
R: No importa el orden de selección. 8
C5 = 56
6. Una caja contiene ocho dulces de menta y cuatro de fresa. ¿De cuantas maneras distintas se pueden tomar al azar cinco de estos dulces sin diferenciar el color?
R: 12C5 = 792
b. ¿De cuántas maneras se pueden sacar cinco dulces al azar y tener como resultado final tres dulces de menta y dos de fresa?
R: (8C3) (4C2) = (56)(6) =336
c. Considerando los resultados de a. y b., ¿cuál es la probabilidad de que al sacar cinco dulces al azar se obtengan tres de menta y dos de fresa?
P(Tres de Menta y dos de fresa) = 336/792 = 0.4242
7. Se tiene un lote de diez baterías para un celular. Se sabe que tres de ellas no funcionan.
a ¿De cuántas maneras distintas se pueden sacar tres baterías al azar y que todas funcionen?
(7C3) = 35
b. Si se extraen tres baterías al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las tres funcionen?
P(tres funcionen) = (7C3) / (10C3) = 35 / 120 = 0.2917
c. ¿De cuántas maneras se pueden extraer tres baterías al azar y obtener solamente una sin funcionar?
(3C1) (7C2) = (21)(3)= 63
d. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer tres pilas al azar obtener solo una sin funcionar?
P(Sólo una no funcione) =(3C1) (7C2) / (10C3) = 63 / 120 = 0.5203
II. Aplica La Probabilidad Simple Y Conjunta.
Probabilidad Simple o Marginal.
La posibilidad que hay de que ocurra algún evento determinado, por ejemplo, que de un recipiente con 5 pelotas verdes, 2 azules y 3 rojas obtengamos una roja es de .3, siempre debe ser un número menor o igual a uno, excepto cuando lo expresas en porcentaje.
Probabilidad simple es igual a la cantidad de formas en que un resultado específico va a suceder entre la cantidad total de posibles resultados.
Una manera, muy usada en la práctica, de denominar la probabilidad un evento simple de un espacio muestral es como probabilidad simple o marginal, la cual hace referencia a la probabilidad de un evento simple, y se denota con P(A), siendo A el evento simple en cuestión. El nombre de probabilidad marginal se debe a que esta medida se puede obtener a partir de los totales marginales de una tabla de contingencia.
Eventos Mutuamente Excluyentes Y Eventos No Excluyentes.
Dos o más eventos son mutuamente
excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la
ocurrencia de un evento impide automáticamente la ocurrencia del otro evento (o
eventos).
Ejemplo: Al lanzar una moneda
solo puede ocurrir que salga cara o sello pero no los dos a la vez, esto quiere
decir que estos eventos son excluyentes. Dos o más eventos son no excluyentes,
o conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que necesariamente
deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
Ejemplo: Si consideramos en un
juego de domino sacar al menos un blanco y un seis, estos eventos son no
excluyentes porque puede ocurrir que salga el seis blanco.
Reglas de la Adición
La Regla de la Adición expresa que: la
probabilidad de ocurrencia de al menos dos sucesos A y B es igual a: P(A o B) =
P(A) U P (B) = P(A) + P(B)
Si A y B son mutuamente excluyentes
P(A o B) = P(A) + P (B) ± P(A y B)
Si A y B son no excluyentes
Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del
evento AP(B) = probabilidad de ocurrencia del evento BP(A y B) = probabilidad
de ocurrencia simultanea de los eventos A y B
Evento mutuamente excluyente: Son
aquellos eventos en los que se cumple la característica de que NO pueden
suceder al mismo tiempo.
Eventos Independientes.
Dos o más eventos son
independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene
efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso
típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se
regresa de nuevo a la población donde se
obtuvo.
Ejemplo:
Lanzar al aire dos
veces una moneda son eventos independientes por que el resultado del primer
evento no afecta sobre las probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello,
en el segundo lanzamiento.
Eventos dependientes.
Dos o más eventos serán
dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la
probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso,
empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la
probabilidad del evento relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad
de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.
Se debe tener claro que
A|B no es una fracción.
P(A|B) = P(A y B)/P(B)
o P(B|A) = P(A y B)/P(A)
TEOREMA DE BAYES.
Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn
 |
Luego si ocurre un evento B definido en d, observamos que;
B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)
Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que
p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) + p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)
y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidad condicional, luego;
p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)
Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;
La expresión anterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.
EJERCICIOS.
Si la probabilidad de que un proyecto de investigación sea correctamente planeado es de 0.80 y la probabilidad de que sea planeado y correctamente ejecutado es de 0.72, ¿qué probabilidad hay de que un proyecto de investigación correctamente planeado, sea correctamente ejecutado? r=0.90
Entre 60 partes de refacción automotriz cargadas en un camión en San Francisco, 45 tienen a Seattle por destino y 15 a Vancouver. Si dos de las partes se descargan por error en Pórtland y la “selección” es aleatoria, ¿qué probabilidades hay de que a. ambas partes debieran de haber llegado a Seattle, b. ambas partes debieran de haber llegado a Vancouver, c. una debiera haber llegado a Seattle y la otra a Vancouver. r=a.33/59 b. 7/118 c.45/118
En una planta electrónica, se sabe por experiencia que la probabilidad de que un obrero de nuevo ingreso que haya asistido al programa de capacitación de la compañía, cumpla la cuota de producción es de 0.86 y que la probabilidad correspondiente de un obrero de nuevo ingreso que no ha asistido a dicho curso de capacitación es de 0.35. Si 80% de la totalidad de los obreros de nuevo ingreso asisten al curso de capacitación, ¿qué probabilidad existe de que un trabajador de nuevo ingreso cumpla la cuota de producción? r=0.758
Una empresa consultora renta automóviles de tres agencias, 20% de la agencia D, 20% de la agencia E y 60% de la agencia F. Si 10% de los autos de D, 12% de los autos de E y 4% de los autos de F tienen neumáticos en mal estado, ¿cuál es la probabilidad de que la empresa reciba un auto con neumáticos en mal estado? r=0.068
Si cada artículo codificado en un catálogo empieza con tres letras distintas y continua con 4 dígitos distintos de cero, encuentre la probabilidad de seleccionar aleatoriamente uno de los que empieza con la letra a y tiene un par como último dígito. R= 10/117
La probabilidad de que una industria estadounidense se ubique en Munich es de 0.7, de que se localice en Bruselas de 0.4, y de que se ubique ya sea en Bruselas o en Munich, o en ambas es de 0.8.¿Cuál es la probabilidad de que la industria se localice a. en ambas ciudades?, b. en ninguna de ellas r=a. 0.3 b. 0.2
Con base en experiencias pasadas, un corredor de bolsa considera que bajo las condiciones económicas actuales un cliente invertirá con una probabilidad de 0.6 en bonos libres de impuesto, en fondos mutualistas con una probabilidad de 0.3 y en ambos instrumentos con una probabilidad de 0.15. En este momento, encuentre la probabilidad de que el cliente invierta a. ya sea en bonos libres de impuesto o en fondos mutualistas, b. en ninguno de los dos instrumentos. r=a. 0.75 b.0.25
Para parejas de casados que viven en una cierta ciudad de los suburbios, la probabilidad de que el esposo vote en alguna elección es de 0.21, la de que su esposa lo haga , es de 0.28 y la de que ambos voten, de 0.15. ¿Cuál es la probabilidad de que a. al menos un miembro de la pareja vote?, b. vote una esposa dado que su esposo lo hace?, c. vote un esposo, dado que su esposa no lo hace? r=a.0.34 b.5/7 c.1/12
19. La probabilidad de que un médico diagnostique correctamente una enfermedad en particular es de 0.7. Dado que realice un diagnóstico incorrecto , la probabilidad de que el paciente levante una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el médico realice un diagnóstico incorrecto y de que el paciente lo demande? r=0.27
Un pueblo tiene dos carros de bomberos que operan independientemente. La probabilidad de que un vehículo específico esté disponible cuando se necesite es de 0.96. a. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno esté disponible en caso necesario?, b. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno lo esté cuando se le necesite? r=a.0.0016 b.0.9984
La probabilidad de que Tom sobreviva 20 años más es de 0.7 y la de que Nancy lo haga de 0.9. Sí se supone independencia para ambos, ¿cual es la probabilidad de que ninguno sobreviva 20 años? r= 0.03
III. Comprende, Representa Y Aplica La Probabilidad Condicional Y Distribución De Variables Aleatorias Discretas.
Probabilidad Condicional.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.
Definición.
Dado un espacio de probabilidadInterpretación.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza
FUNCIÓN DE PROBABILIDAD
DISCRETA.
Sea X una variable aleatoria
discreta, y supongamos que los valores posibles que ésta puede asumir están
dados por x1, x2, x3, ..., con determinado orden. Supongamos también que estos
valores se asumen con posibilidades dadas por:
P(X = kx) = f(xk) k = 1,2, …
Es conveniente representar la
función de probabilidad, también denominada distribución de probabilidad, dada
por:
Para x = x_k se reduce a (1),
mientras que para otros valores de x, f(x) = 0.
En general f(x) es una
función de probabilidad si:
1.
2.
donde la suma en 2 toma todos
los valores posibles de x.
Vamos a ver un ejemplo.
Supongamos que se lanza una moneda dos veces, de manera que el espacio muestral
es S={CC, CS, SC, SS}. Siendo X en numero de caras que pueden salir. Podemos
asociar cada punto muestral con un número de X, como se muestra en la tabla.
Así por ejemplo en el caso CC (es decir, 2 caras), X = 2, mientras que para CS
(1 cara y un sello) X = 1. Concluimos entonces que X es una variable aleatoria.
Suponiendo que la moneda es
balanceada, tenemos:
entonces,
la función de probabilidad
está dada, entonces, por la siguiente tabla:
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DISCRETA.
La función de distribución
para una variable aleatoria discreta X puede obtenerse a partir de su función
de probabilidad notando que, para todo x en (-
,
),
donde la suma sustituye todos
los valores u tomados por X para la cual
Si X toma solamente un número
finito de valores
entonces la función de distribución está dada por:
Ahora vamos a encontrar la
función de distribución del ejemplo anterior.
La función de distribución
sería:
En probabilidad y estadística,
una variable aleatoria o variable estocástica es una variable cuyos valores se
obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Una variable
aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de
tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales (p.e., su
suma).((MARIA CAMILA GIRALDO))
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
Toda distribución de probabilidad es generada por una variable aleatoria x, la que puede ser de dos tipos:
Variable aleatoria discreta (x). Se le denomina variable porque puede tomar diferentes valores, aleatoria, porque el valor tomado es totalmente al azar y discreta porque solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.
EJERCICIOS.
- Si la utilidad de un distribuidor en unidades de $1000, en un nuevo automóvil puede considerarse como una variable aleatoria x con una función de densidad
f(x) = 2(1- x) para 0< x < 1 y 0 para cualquier otro caso
Encuentre la utilidad promedio por automóvil.
r. $333
- ¿Qué proporción de personas puede esperarse que respondan a un cierto requerimiento por correo, si la proporción x tiene la función de densidad
0< x < 1 y 0 en cualquier otro caso?
r. 8/15
- La función de densidad de la variable aleatoria continua x, el número total de horas en unidades de 100 horas, de que una familia utilice una aspiradora durante un año es de;
f(x) = x, para 0 < x < 1, f(x) = (2 - x) para 1 £ x < 2, 0 en cualquier otro caso.
Encuentre el número promedio de horas por año que la familia utiliza la aspiradora.
r. 100 horas
13. Suponga las probabilidades de 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1, respectivamente, de que 0, 1, 2 o 3 fallas de energía eléctrica afecten una cierta subdivisión en un año cualquiera. Encuentre la media y la desviación estándar de la variable aleatoria x que representa el número de fallas de energía eléctrica que afectan esta subdivisión.
r. m = 1 , s = 1
14. La variable aleatoria x, que representa el número de pedacitos de chocolate en una rebanada de pastel, tiene la siguiente distribución de probabilidad:
x
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
p(x)
|
0.01
|
0.25
|
0.4
|
0.3
|
0.04
|
Determine el número esperado de pedacitos de chocolate en una rebanada de pastel.
r. 4 pedacitos de chocolate
Desviación Estándar.
La desviación
estándar o desviación típica (denotada con el símbolo σ o s,
dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de centralización o dispersión para variables de razón (radio o
cociente) y de intervalo, de gran utilidad en la estadística descriptiva.
Se
define como la raíz cuadrada de la varianza. Junto con este valor, la desviación
típica es una medida (cuadrática) que informa de la media de distancias que
tienen los datos respecto de su media
aritmética, expresada en las
mismas unidades que la variable.
Para
conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de
tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que
presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha
distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la
realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de
decisiones.
Interpretación Y Aplicación.
La
desviación estándar es una medida
del grado de dispersión de
los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación
estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con
respecto a la media aritmética.
Por
ejemplo, las tres muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) cada
una tiene una media de 7. Sus desviaciones estándar muestrales son 8.08, 5.77 y 1.15 respectivamente.
La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque
sus valores están más cerca de 7.
La
desviación estándar puede ser interpretada como una medida de incertidumbre. La desviación estándar de un grupo repetido de medidas nos da la precisión de éstas. Cuando se va a determinar si un
grupo de medidas está de acuerdo con el modelo teórico, la desviación estándar
de esas medidas es de vital importancia: si la media de las medidas está
demasiado alejada de la predicción (con la distancia medida en desviaciones
estándar), entonces consideramos que las medidas contradicen la teoría. Esto es coherente, ya que las mediciones caen
fuera del rango de valores en el cual sería razonable esperar que ocurrieran si
el modelo teórico fuera correcto. La desviación estándar es
uno de tres parámetros de ubicación central; muestra la agrupación de los datos
alrededor de un valor central (la media o promedio).
Desglose.
La desviación
estándar (DS/DE), también llamada desviación típica, es una medida
de dispersión usada en estadística que nos dice cuánto tienden a alejarse los valores concretos del promedio en una distribución. De hecho, específicamente,
la desviación estándar es "el promedio del cuadrado de la distancia de
cada punto respecto del promedio". Se suele representar por una S o
con la letra sigma,
.
La
desviación estándar de un conjunto de datos es una medida de cuánto se desvían
los datos de su media. Esta medida es más estable que el recorrido y toma en consideración el valor de cada dato.
Distribución De Probabilidad Continua.
Es
posible calcular la desviación estándar de una variable aleatoria continua como la raíz cuadrada de la integral
donde
Distribución de probabilidad discreta
La DS
es la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de probabilidad
discreta
Así la
varianza es la media de los cuadrados de las diferencias entre cada valor de la
variable y la media aritmética de la distribución.
Aunque
esta fórmula es correcta, en la práctica interesa realizar inferencias
poblacionales, por lo que en el denominador en vez de n, se usa n-1 (Corrección de Bessel) Esta ocurre cuando la media de muestra se
utiliza para centrar los datos, en lugar de la media de la población. Puesto
que la media de la muestra es una combinación lineal de los datos, el residual
a la muestra media se extiende más allá del número de grados de libertad por el
número de ecuaciones de restricción - en este caso una. Dado esto a la muestra
así obtenida de una muestra sin el total de la población se le aplica esta
corrección con la fórmula desviación estándar muestral. Cuando los casos
tomados son iguales al total de la población se aplica la fórmula de desviación
estándar poblacional.
También
hay otra función más sencilla de realizar y con menos riesgo de tener
equivocaciones :
Ejemplo.
Aquí
se muestra cómo calcular la desviación estándar de un conjunto de datos. Los datos representan la edad de los miembros de un grupo de niños: {
4, 1, 11, 13, 2, 7 }
1.
Calcular el promedio o media
aritmética
.
En
este caso, N = 6 porque hay
seis datos:
i =
número de datos para sacar desviación estándar
2. Calcular la desviación estándar
IV. Aplica Y Representa la Probabilidad Binomial Y Distribución De Variables Aleatorias Continuas.
Distribución Binomial
En estadística, la distribución binomial es una distribución
de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una
secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los
ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto
es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene
una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una
probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial
el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se
trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de
hecho, en una distribución
de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una
distribución binomial de parámetros n y p,
se escribe:
La distribución binomial
es la base del test
binomial de significación
estadística.
Experimento Binomial
Existen muchas situaciones en las que se presenta una
experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los
restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado
del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías
(a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas
posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p).
Se designa por X a la variable que mide el número de
éxitos que se han producido en los n experimentos.
Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la
variable X sigue una distribución de probabilidad
binomial, y se denota B(n,p).
Características Analíticas
Su función
de probabilidad es donde siendo las
combinaciones de en ( elementos
tomados de en )
Ejemplo
Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y
queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este
caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
Propiedades
Relaciones Con Otras Variables Aleatorias
Si tiende a
infinito y es tal que
el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces
la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro .
Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que ) la distribución binomial puede
aproximarse mediante la distribución
normal.
Propiedades Reproductivas
Dadas n variables binomiales independientes de
parámetros ni (i = 1,..., n) y , su suma es también una variable
binomial, de parámetros n1+...
+ nn, y
Distribución De Probabilidad Continua.
En teoría
de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua.
Puesto que la función de distribución de una variable
aleatoria X viene dada por , la definición implica que en
una distribución de probabilidad continua X se cumple P[X = a]
= 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de
que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X variable aleatoria continua.
En las distribuciones de probabilidad continuas, la
distribución de probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que
tenemos entonces que:
Mientras que en una distribución
de probabilidad discreta un suceso con probabilidad cero es imposible, no se da el caso en
una variable aleatoria continua. Por ejemplo, si se mide la anchura de una hoja
de roble, el resultado 3,5 cm es posible, pero tiene probabilidad cero porque
hay infinitos valores posibles entre 3 cm y 4 cm. Cada uno de esos valores
individuales tiene probabilidad cero, aunque la probabilidad de ese intervalo no lo es. Esta aparente paradoja se resuelve por el hecho de que la
probabilidad de que X tome algún valor en un conjunto
infinito como un intervalo, no puede calcularse mediante la adición simple de
probabilidades de valores individuales. Formalmente, cada valor tiene una
probabilidad infinitesimalque estadísticamente equivale a cero.
Existe una definición alternativa más rigurosa en la que
el término "distribución de probabilidad continua" se reserva a
distribuciones que tienen función
de densidad de probabilidad. Estas funciones se llaman, con más precisión,
variables aleatorias absolutamente
continuas (véase el Teorema de Radon-Nikodym). Para una
variable aleatoria X absolutamente continua es equivalente
decir que la probabilidad P[X = a] = 0 para todo número real a, en virtud de que hay un
incontables conjuntos de medida de Lebesgue cero (por ejemplo, el conjunto de Cantor).
Una variable aleatoria con la distribución de Cantor es continua de acuerdo con la primera
definición, pero según la segunda, no es absolutamente continua. Tampoco es
discreta, ni una media ponderada de variables discretas y absolutamente
continuas.
En aplicaciones prácticas, las variables aleatorias a
menudo ofrece una distribución discreta o absolutamente continua, aunque
también aparezcan de forma natural mezclas de los dos tipos.
Definición
Para una variable continua hay infinitos valores posibles
de la variable y entre cada dos de ellos se pueden definir infinitos valores
más. En estas condiciones no es posible deducir la probabilidad de un valor
puntual de la variable; como se puede hacer en el caso de variables discretas, pero es posible calcular la
probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución de probabilidad), y se
puede analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos
cambios no son probabilidades sino otro concepto: la función de densidad.
En el caso de variable continua la distribución de
probabilidad es la integral de la función de densidad, por lo que tenemos
entonces que:
Sea una variable continua, una distribución de
probabilidad o función de
densidad de probabilidad (FDP) de es una función tal que, para cualesquiera
dos números y siendo .
La gráfica de se
conoce a veces como curva de
densidad, la probabilidad de que tome
un valor en el intervalo es
el área bajo la curva de la función de densidad; así, la función mide concentración
de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.
área bajo la curva de entre y Para que sea una FDP ( ) legítima, debe satisfacer las
siguientes dos condiciones:
1. 0
para toda .
2.Ya que la probabilidad es siempre un número positivo,
la FDP es una función no decreciente que cumple:
1. .
Es decir, la probabilidad de todo el espacio muestral es 1.
2. .
Es decir, la probabilidad del suceso nulo es cero.
Algunas FDP están declaradas en rangos de a , como la de la distribución normal.
Distribuciones Continuas
Las distribuciones de variable continua más importantes
son las siguientes:
· Distribución Beta.
· Distribución exponencial.
· Distribución F.
· Distribución Gamma.
· Distribución ji cuadrado.
· Distribución normal.
· Distribución t de Student.
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad_continua
Distribución Normal
Historia
Definición Formal.
Función De Densidad.
Función De Distribución.
Distribución Normal
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de lasdistribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística es un modelo matemático que sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido como método correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
· caracteres morfológicos de individuos como la estatura;
· caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;
· caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un mismo grupo de individuos;
· caracteres psicológicos como el cociente intelectual;
· nivel de ruido en telecomunicaciones;
· errores cometidos al medir ciertas magnitudes;
· etc.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las mediasmuestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal.Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una supuesta "normalidad".
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.
Historia
La distribución normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733, que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.
Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendreen 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la Ley de Stigler.
El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875. A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre ocurrencia, más abajo.
Definición Formal.
Hay varios modos de definir formalmente una distribución de probabilidad. La forma más visual es mediante su función de densidad. De forma equivalente, también pueden darse para su definición la función de distribución, los momentos, la función característica y la función generatriz de momentos, entre otros.
Función De Densidad.
Se dice que una variable aleatoria continua X sigue una distribución normal de parámetros μ y σ y se denota X~N(μ, σ) si su función de densidad está dada por:
donde μ (mu) es la media y σ (sigma) es la desviación estándar (σ2 es la varianza).
Se llama distribución normal "estándar" a aquélla en la que sus parámetros toman los valores μ = 0 y σ = 1. En este caso la función de densidad tiene la siguiente expresión:
Su gráfica se muestra a la derecha y con frecuencia se usan tablas para el cálculo de los valores de su distribución.
Función De Distribución.
La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, , se denota con frecuencia , y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería. Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de .
La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.
http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
1
Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:
p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)
Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.
2
En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:
P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
3
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.
4
La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:
1. Entre 60 kg y 75 kg.
2.Más de 90 kg.
3.Menos de 64 kg.
4.64 kg.
5.64 kg o menos.
5
Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?
2.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).
3.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?
6
Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
Baja cultura hasta 49 puntos.
Cultura aceptable entre 50 y 83.
Excelente cultura a partir de 84 puntos.
7
Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.
1. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.
2. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?
3. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?
8
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.
9
En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen.
10
Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores?
2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores?
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